高斯模糊/高斯滤波

通常，图像处理软件会提供模糊滤镜，使图片产生模糊效果。

模糊的算法有很多，其中有一种叫高斯模糊(Gaussian Blur)，它将正态分布用于图像处理。
文本介绍了高斯模糊的算法，你会看到这是一个非常简单易懂的算法。本质上，它是一种数据平滑技术(data smoothing)，适用于多个场合，图像处理恰好提供了一个直观的应用实例。

¶高斯模糊的原理

所谓模糊，可以理解成每一个像素都取周边像素的平均值。

上图中，2是中间点，周边点都是1.

中间点取周围点的平均值之后，就会从2变成了1.在数值上，这是一种平滑化。在图形上，就相当于产生模糊的效果，中间点失去了细节。

显然计算平均值时，取值范围越大，模糊效果越强烈。

上面分别是原图、模糊半径3像素，模糊半径10像素的效果。模糊半径越大，图像就越模糊。从数值角度来看，就是数值越平滑。

接下来的问题是，既然每个点都要取周边像素的平均值，那么该如何分配权重呢？
如果使用简单平均，显然是不合理的，因为图像都是连续的，越靠近的点关系越密切，越远离的点关系就越疏远。因此，加权平均更合理，距离越近的点，权重就越大，距离越远的点，权重就越小。

¶正态分布的权重

正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

在图形上，正态分布是一种钟形曲线，越接近中心，取值越大，越远离中心，取值越小。
计算平均值的时候，我们只需要将中心点作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重就可以得到一个加权平均值。

¶高斯函数

上面的正态分布是一维的，但是图像都是二维的，因此我们需要二维的正态分布。

正态分布的密度函数叫做高斯函数，下面是一维高斯函数的公式：

$ G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} $

其中，$ \mu $是x的均值，σ是x的方差。因为计算平均值的时候，中心店是原点，因此均值等于0。

$ G(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}} $

根据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数:

$ G(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma^{2}}e^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sigma^{2}}} $

有了这个函数，就可以计算每个点的权重了。

¶权重矩阵

假设中心点的坐标是(0,0)，那么距离它最近的个点的坐标如下：

更远的同理计算方法。

为了计算权重矩阵，需要设置σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.47877147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让他们的之和等于1，因此上面的9个值还要分别除以0.47877147，得到最终的权重矩阵(除以0.47877147会将每个数都进行调整，保证相加为1)

计算结果:

¶计算高斯模糊

我们计算得到了权重矩阵，就可以根据它来计算高斯模糊的值了。

举例：
假设有9个像素点，灰度值(0-255)如下:

每个点乘以自己的权重值:

计算得到：

最后我们将这个9个值加起来，就是中心点的高斯模糊值了(加权和)。
对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊处理后的图像，如果原图是彩色图片，我们要对RGB三个通道分别进行高斯模糊处理。

¶边界点处理

如果一个点处于边界，周边没有足够的点，该怎么办？

我们可以将该边界和另一侧对应的边界进行拼接，来模拟出一个完整的矩阵。同样也可以进行对称复制来得到一个矩阵。

文章内容参考：click here 我对缺失的公式进行了补充。